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0 3空间曲面与曲线（第2页）

2）　曲线L绕y轴旋转一周所形成的旋转曲面方程为f（±x２＋z２，y）＝０．

类似可写出yOz面或xOz面上的曲线绕其所在坐标面上的坐标轴旋转一周所形成的旋转曲面方程．

【方法运用点拨】两个不变1）　绕哪个轴旋转，该坐标不变；2）　曲线上的点转到任何位置到该轴的距离不变。

例如双曲线x2a2－z2c2=1

y=0绕

x轴旋转一周所形成的旋转双叶双曲面的方程为

x2a2－y2+z2c2=1

绕z轴旋转一周所形成的旋转单叶双曲面的方程为

y2+x2a2－z2c2=1

又如，对称轴为z轴、顶点在原点、半顶角为α的圆锥面方程为

z2=cot2α（x2+y2）

特别地，当α=π4时，圆锥面方程为z2=x2+y2

其中，上半圆锥面为z=x2+y2，下半圆锥面为z=－x2+y2

3。　曲线

（1）　参数方程x=x（t），

y=y（t），

z=z（t）。

【例10。1】设空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度ω绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升（其中ω，v都是常数），那么点M构成的图形叫作螺旋线。求其参数方程。

【详解】取时间t为参数，设当t=0时，动点位于x轴上的一点A（a，0，0）处。经过时间t，动点由A运动到M（x，y，z），记M（x，y，z）在面上的投影为M′，M′的坐标为（x，y，0）。由于动点在圆柱面上以角速度ω绕z轴旋转，所以经过时间t，∠AOM′=ωt。

从而x=|OM′|′=a′|sin∠AOM′=asinωt

由于动点同时以线速度v沿平行于z轴的正方向上升

所以z=M′M=vt

因此，螺旋线的参数方程为x=acoswt，

y=asinwt，

z=vt

（2）　一般方程F1（x，y，z）=0，

F2（x，y，z）=0。这是由两个曲面相交所得的曲线。

【例10。2】方程z=a2－x2－y2

x－a２2+y2=a２2表示怎样的曲线？